미적분학의 본질 (개인적인 요약)

1장

미분, 적분, 미적분학의 기본정리에 관한 간략한 개요다.

 

2장

도함수에 관한 설명이다.

순간 속도를 구하고 싶다고 하자. 한 순간에 변화한다는 말은 모순이므로, 변화 시간을 매우매우 작게 만들면 '한 순간'에 매우 가깝게 근사한 것이다. '순간변화율'은 점점 더 정확해지는 변화율 값이 다가가는 종착 값으로 정의하도록 한다.

한 마디로, 도함수는 순간속도에 가장 근사한 상수값이다.

 

3장

거듭제곱 법칙 (power rule) nx^(n-1)를 기하적으로 유도한다. 영상의 끝에 가서는 삼각함수 중 sin(x)와 cos(x)의 미분을 기하적으로 간략히 유도한다.

 

4장

합미분 법칙 (sum rule), 곱미분 법칙 (product rule)을 기하적으로 유도하고, 연쇄 법칙 (chain rule)을 시각적으로 설명한다. 변화량(dy=~~)을 구한 뒤 변화율의 식(dy/dx=~~)으로 재조정하는 것이 인상깊었다.

 

5장

지수함수의 도함수가 자기 자신에 비례할 것임을 시각적으로 추론한 뒤, 변화율 식을 조작하여 그 비례 상수(자연로그)를 유도한다. 또한 e의 정의가 그 비례 상수가 1이도록 만드는 수임을 밝힌다.

 

6장

음함수의 미분을 작은 변화량'들'의 개념으로 설명한다. 개인적으로 'y를 x에 대한 양함수로 생각한다'고 보지 않고, 그냥 4장의 방식을 그대로 택하여 변화율이 아닌 변화량을 구해버리는 것이 인상깊었다. 특히 어떤 단일 변수 dt나 dx에 제한되지 않아서 더 그랬던 것 같다.

 

7장

극한의 엄밀한 정의를 다룬다. 임의의 양수 ε에 대한 δ가 존재한다는 조건식을 적절하게 시각화하였다. 로피탈 정리가 성립하는 개괄적인 이유를 변화량의 관점에서 보여준다.

 

8장

적분의 본질을 설명하기 위해 속도 예시를 들어서, 시간을 아주 잘게 나누어 각 속도를 일정하다고 근사한 뒤 넓이를 각각 구해 모두 더하고 그것의 극한을 구한다고 말한다. 즉 적분의 본질이 리만 합의 극한에 있음을 보여주고, 이러한 행위가 그것이 역도함수 (antiderivative)와 관련있음을 설명한다(미적분학의 기본정리).

 

9장

적분 구간에 대해 어떤 함수의 평균 높이가 그 역도함수의 평균 기울기와 같음을 보임으로서 미적분학의 기본정리를 다른 형태로 시각화한다. 다만 8장이 더 마음에 든다고 덧붙이는 것은 덤.

수학 문제(입시든 일상이든)에서 적분을 써야 할 거 같은 경우 두 가지로 (1, 8장) 무언가 작게 나눠 근사한 뒤 모두 더해야 할 거 같을 때, (2, 9장) 무언가 연속적인데 유한한 맥락에선 결국 모두 더해야 하는 것일 때 (예. 연속변수의 평균 계산)를 제시한다.

 

10장

고계도함수에 관한 간략한 각주이다.

 

11장

기존의 함수를 다항함수로 근사하는 도구로써의 테일러 급수를 시각적으로 아주 잘 보여준다. 중간에는 테일러 급수의 이차항을 기하적으로 유도한다. 마지막에는 테일러 급수의 수렴 반경 (radius of convergence)을 간략히 언급한다. 특히, 테일러 급수가 '어떤 한 점의 정보로 그 주변 함숫값을 도출'한다는 철학적 의미를 가지고 있음을 강조한다.

 

12장

앞으로 미적분학을 더 학습할수록 직관력에 있어 그래프 관점에만 제한되어서는 안 된다고 강조한다. 본 영상에서는 '변환적 관점'을 제시하고, 이를 가지고 연분수 1+1/(1+1/(1+1/...))에 대해 두 고정점 φ와 -1/φ가 동등하다고 보기는 어려움을 논증한다.